Nació en la ciudad provincial de Nizhni Nóvgorod, en el Imperio ruso, en un mundo marcado por la ciencia ilustrada y la burocracia imperial. Sus primeros años estuvieron condicionados por recursos limitados, lo que afiló una determinación práctica por avanzar mediante la educación.

Tras la muerte de su padre, Iván Lobachevski, la familia afrontó dificultades económicas y buscó estabilidad mediante oportunidades de escolarización. El traslado hacia Kazán lo situó cerca de un centro intelectual en expansión, impulsado por las reformas educativas del Estado ruso.

Se matriculó en el Gimnasio de Kazán, donde se enseñaban matemáticas y lenguas para preparar a los estudiantes para el servicio imperial. Sus profesores destacaron su intensidad y talento, y se inclinó por la geometría y el razonamiento lógico por encima de la memorización mecánica.

Ingresó en la Universidad de Kazán poco después de su creación como institución moderna en la frontera del Volga. La universidad incorporó saber europeo y manuales contemporáneos, lo que le dio acceso a debates sobre Euclides, el cálculo y el método científico.

Estudió y trabajó estrechamente con Johann Christian Martin Bartels, matemático alemán y antiguo profesor de Carl Friedrich Gauss. Bartels fomentó la demostración exacta y la lectura amplia, hábitos que más tarde ayudaron a Lobachevski a cuestionar el postulado de las paralelas.

Recibió un nombramiento temprano para enseñar matemáticas, reflejo tanto de su capacidad como de la urgente necesidad de personal en la universidad. Mientras impartía clases de geometría y análisis, empezó a explorar en privado si los axiomas de Euclides eran necesariamente únicos.

Fue promovido a una cátedra, obteniendo mayor libertad para definir programas y exámenes en la Universidad de Kazán. El puesto le permitió afinar su enfoque lógico de la geometría y poner a prueba sus ideas frente a preguntas de estudiantes y demostraciones clásicas.

Aceptó tareas que iban más allá de la investigación, ayudando a supervisar estándares docentes y la disciplina institucional. Ese equilibrio entre gobierno y erudición se volvió central cuando intentó publicar ideas geométricas controvertidas en un clima de incomodidad.

Impartió una conferencia en la que esbozó una geometría donde varias rectas por un punto pueden ser paralelas a una recta dada. La afirmación desafió siglos de autoridad euclidiana, y la presentó como una alternativa lógicamente coherente, no como una paradoja.

Fue elegido rector, quedando al frente de una de las universidades regionales clave de Rusia en una época políticamente cautelosa tras la revuelta decembrista. Impulsó mejores laboratorios, calidad docente y fondos bibliográficos, a la vez que protegía el trabajo académico de presiones externas.

Durante la epidemia de cólera de 1830, organizó medidas para mantener el funcionamiento de la universidad reduciendo los riesgos de contagio. La crisis exigió disciplina logística y confianza pública, reforzando su reputación como administrador firme además de matemático.

Publicó trabajos influyentes que describían una geometría coherente que rechazaba el postulado de las paralelas de Euclides y desarrollaba nuevas relaciones trigonométricas para ella. Dado el escepticismo en Rusia y Europa, estas publicaciones circularon lentamente pese a su originalidad.

Amplió su producción matemática, combinando intuición geométrica con cálculo analítico para hacer más utilizable su nueva teoría. Al conectar axiomas abstractos con resultados calculables, buscó demostrar que la geometría alternativa no era un mero juego de palabras.

Publicó su exposición más famosa, «Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas», que resumía décadas de reflexión. Impresa en ruso y más tarde difundida a lectores más amplios, sostenía que los axiomas de la geometría son hipótesis evaluadas por su coherencia lógica y su aplicación.

Tras un largo servicio, fue forzado a dejar el rectorado cuando crecieron las tensiones burocráticas y las críticas internas. La pérdida redujo su influencia institucional y sus ingresos, mostrando lo frágil que podía ser la libertad académica dentro de las estructuras administrativas imperiales.

En sus últimos años sufrió un deterioro de la salud, incluida una pérdida progresiva de la vista, mientras afrontaba responsabilidades familiares con recursos disminuidos. Pese a esas dificultades, continuó escribiendo y manteniendo correspondencia, intentando asegurar el reconocimiento de su revolución geométrica.

A medida que matemáticos europeos reconsideraban los fundamentos, sus ideas tempranas empezaron a parecer menos heréticas y más visionarias. Trabajó en manuscritos finales y revisiones, esperando que su enfoque fuese juzgado por su solidez lógica y no por la tradición.

Murió en Kazán, dejando una obra que más tarde transformó la geometría e influyó en la física matemática. Aunque el reconocimiento llegó lentamente, su insistencia en alternativas coherentes a Euclides cambió la forma en que las matemáticas modernas entienden el espacio.