Né dans la famille Bolyai à Cluj, alors située dans la région de Transylvanie sous domination des Habsbourg. Son père, Farkas Bolyai, était mathématicien et correspondait étroitement avec Carl Friedrich Gauss.

Farkas Bolyai le forma personnellement et intensivement, en insistant sur la rigueur des démonstrations et la géométrie classique. Le réseau savant du foyer l’exposa très tôt aux mathématiques européennes et à la renommée de Gauss.

Il suivit des études exigeantes marquées par les institutions réformées de Transylvanie, conciliant langues, sciences et mathématiques. Son talent inhabituel devint rapidement évident pour ses enseignants et les amis de la famille.

Inspiré par les Éléments d’Euclide et par les mises en garde de son père au sujet du « postulat des parallèles », il entreprit des recherches indépendantes. Il chercha une géométrie cohérente qui évite de supposer d’emblée le cinquième postulat d’Euclide.

Il intégra l’Académie militaire thérésienne, recevant une formation d’élite en ingénierie, fortification et mathématiques appliquées. La discipline du programme renforça sa précision technique et son endurance face aux problèmes complexes.

Il acheva ses études et entra au service de la structure militaire des Habsbourg. Les tâches d’ingénierie militaire exigeaient des travaux d’arpentage et un raisonnement géométrique, consolidant sa confiance dans la pensée spatiale.

Dans une lettre à son père, il déclara avoir créé, au sujet des parallèles, « un monde nouveau, différent » à partir de rien. Ce moment marqua son passage décisif de la réforme d’Euclide à la construction d’une géométrie nouvelle.

Tout en servant comme officier, il affina un système cohérent où plusieurs parallèles passent par un point. Ses notes visaient la cohérence interne, pour montrer que la géométrie peut tenir sans le cinquième postulat d’Euclide.

Des problèmes de santé et les pressions du service compliquèrent la continuité de son travail de recherche. Malgré ces revers, il poursuivit ses efforts en privé, considérant la géométrie comme une mission intellectuelle de toute une vie.

Il organisa ses résultats dans un bref traité en latin destiné à accompagner le manuel de son père. L’ouvrage proposait une voie systématique de « géométrie absolue » menant à une théorie pleinement non euclidienne de l’espace.

Son Annexe parut dans le Tentamen de Farkas Bolyai, imprimé pour un public savant européen. Elle offrit l’une des toutes premières constructions publiées et rigoureuses de la géométrie hyperbolique.

Farkas envoya l’ouvrage à Carl Friedrich Gauss, qui répondit que le louer reviendrait à « se louer lui-même », laissant entendre qu’il avait eu des idées semblables auparavant. Cette réponse déçut János et montra combien une intuition non publiée peut néanmoins peser sur une réputation.

Découragé par l’accueil et par les questions de priorité, il devint plus réservé quant au partage de ses résultats. Il poursuivit des recherches privées, mais ses idées les plus révolutionnaires restèrent largement isolées des mathématiciens de son temps.

Après des années d’affectations, il se retira de la vie militaire à plein temps et se réinstalla en Transylvanie. Ce changement lui apporta de la stabilité, mais il eut du mal à transformer des découvertes solitaires en reconnaissance académique plus large.

Il conserva des cahiers de travail sur la géométrie et l’algèbre tout en vivant loin des grandes universités européennes. Sans soutien institutionnel durable, ses travaux circulèrent peu, alors même que les mathématiques se dirigeaient vers de nouveaux fondements.

Les révolutions de 1848 transformèrent la politique en Hongrie et en Transylvanie, perturbant la vie civique et les carrières. Dans ce contexte agité, ses activités intellectuelles restèrent largement privées et détachées des institutions publiques.

Sans être largement célébré de son vivant, ses proches et des cercles locaux préservèrent ses papiers et l’Annexe publiée. Ces documents permirent plus tard aux historiens des mathématiques de mesurer l’ampleur de sa percée.

Il mourut après une vie marquée par l’audace intellectuelle et une reconnaissance limitée de son époque. Sa géométrie non euclidienne devint ensuite centrale dans les mathématiques modernes et influença les conceptions de l’espace en physique.