Er wurde in der Familie Bolyai in Cluj geboren, das damals zur von den Habsburgern beherrschten Region Siebenbürgen gehörte. Sein Vater Farkas Bolyai war Mathematiker und stand in engem Briefwechsel mit Carl Friedrich Gauß.

Farkas Bolyai unterrichtete ihn persönlich und intensiv, mit Schwerpunkt auf strengen Beweisen und klassischer Geometrie. Das wissenschaftliche Netzwerk des Hauses brachte ihn früh mit der europäischen Mathematik und dem Ruf von Gauß in Berührung.

Er absolvierte anspruchsvolle Studien, geprägt von siebenbürgisch-reformierten Bildungseinrichtungen, und verband Sprachen, Naturwissenschaften und Mathematik. Seine ungewöhnliche Begabung wurde Lehrern und Freunden der Familie rasch deutlich.

Angeregt durch Euklids „Elemente“ und die Warnungen seines Vaters vor dem „Parallelenpostulat“ begann er eigenständige Untersuchungen. Er suchte eine konsistente Geometrie, die Euklids fünftes Postulat nicht einfach voraussetzt.

Er trat in die Theresianische Militärakademie ein und erhielt eine Eliteausbildung in Ingenieurwesen, Befestigungsbau und angewandter Mathematik. Der disziplinierte Lehrplan schärfte seine technische Präzision und seine Ausdauer für komplexe Probleme.

Er beendete sein Studium und trat in den Dienst innerhalb der habsburgischen Militärstruktur. Aufgaben der Militärtechnik erforderten Vermessung und geometrisches Denken, was sein Vertrauen in räumliche Überlegungen stärkte.

In einem Brief an seinen Vater erklärte er, er habe in Bezug auf Parallelen „eine neue, andere Welt“ aus dem Nichts geschaffen. Dieser Moment markierte seinen entschiedenen Übergang von der Reform Euklids zum Aufbau einer neuen Geometrie.

Während er als Armeeoffizier diente, verfeinerte er ein kohärentes System, in dem durch einen Punkt mehrere Parallelen verlaufen. Seine Notizen zielten auf innere Widerspruchsfreiheit und darauf, zu zeigen, dass Geometrie ohne Euklids fünftes Postulat bestehen kann.

Gesundheitsprobleme und der Druck des Dienstes erschwerten zusammenhängende Forschungszeit. Trotz Rückschlägen arbeitete er privat weiter und betrachtete die Geometrie als lebenslange geistige Mission, nicht als bloßen Zeitvertreib.

Er ordnete seine Ergebnisse zu einer knappen lateinischen Abhandlung, die als Ergänzung zum Lehrbuch seines Vaters gedacht war. Die Arbeit skizzierte eine systematische „absolute Geometrie“ als Weg zu einer vollständig nichteuklidischen Raumtheorie.

Sein „Appendix Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens“ erschien in Farkas Bolyais „Tentamen“ und richtete sich an ein europäisches Gelehrtenpublikum. Damit lieferte er eine der ersten veröffentlichten, rigorosen Konstruktionen der hyperbolischen Geometrie.

Farkas sandte die Arbeit an Carl Friedrich Gauß, der erwiderte, sie zu loben hieße „sich selbst zu loben“, und damit frühere ähnliche Gedanken andeutete. Diese Antwort enttäuschte János und zeigte, wie unveröffentlichte Einsichten dennoch den Ruf prägen können.

Entmutigt durch die Aufnahme und durch Prioritätsfragen wurde er zurückhaltender beim Teilen von Ergebnissen. Er setzte seine Untersuchungen im Privaten fort, doch seine revolutionärsten Ideen blieben weitgehend von der mathematischen Öffentlichkeit isoliert.

Nach Jahren der Versetzungen zog er sich aus dem militärischen Alltag zurück und ließ sich wieder in Siebenbürgen nieder. Die Veränderung brachte Stabilität, doch es fiel ihm schwer, seine einsamen Entdeckungen in breite akademische Anerkennung zu überführen.

Er führte Notizbücher zur Geometrie und Algebra, während er fern der großen europäischen Universitäten lebte. Ohne verlässliche institutionelle Unterstützung zirkulierte seine Arbeit kaum, selbst als die Mathematik neue Grundlagen entwickelte.

Die Revolutionen von 1848 veränderten Politik und Gesellschaft in Ungarn und Siebenbürgen und brachten das bürgerliche Leben und Laufbahnen durcheinander. In diesem turbulenten Umfeld blieben seine geistigen Arbeiten weitgehend privat und von öffentlichen Institutionen getrennt.

Obwohl er zu Lebzeiten kaum gefeiert wurde, bewahrten Familie und lokale Kreise seine Papiere und den veröffentlichten Anhang. Diese Materialien ermöglichten es später Mathematikhistorikern, das Ausmaß seines Durchbruchs zu erkennen.

Er starb nach einem Leben, das von geistiger Kühnheit und begrenzter zeitgenössischer Anerkennung geprägt war. Seine nichteuklidische Geometrie wurde später zentral für die moderne Mathematik und prägte Raumvorstellungen in der Physik.