Geboren am 25. Januar 1736 in Turin, Königreich Sardinien, als Sohn von Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia und Maria Teresa Grosso. In einer Familie mit schwindenden Finanzen aufgewachsen, wandte er sich früh der Gelehrsamkeit und diszipliniertem Studium zu.

Als Jugendlicher wandte er sich von Sprachen und Rhetorik ab, nachdem er auf Werke gestoßen war, die von Isaac Newton und frühen italienischen Analysten beeinflusst waren. Diese Entdeckung lenkte seine Ziele auf mathematische Physik und beweisorientiertes Denken.

Er entwarf eine frühe Arbeit zur Variationsrechnung und zu isoperimetrischen Problemen, angeregt durch die Aufgaben von Johann Bernoulli. Obwohl noch vorläufig, zeigte sie ein ungewöhnliches Talent, physikalische Fragen auf analytische Form zu bringen.

Lagrange begann an der Königlichen Artillerieschule in Turin zu unterrichten, wo technische Anforderungen klare mathematische Methoden begünstigten. Seine Vorlesungen und Notizen halfen, Ideen zu schärfen, die später zu verallgemeinerter Mechanik reiften.

Gemeinsam mit Giovanni Cigna und anderen Kollegen half er, eine gelehrte Gesellschaft zu gründen, die sich zur Accademia delle Scienze di Torino entwickelte. Die Veröffentlichungen der Gruppe gaben ihm eine Plattform zum Publizieren und zum europaweiten Austausch.

Seine Ergebnisse zu Variationsmethoden und Mechanik gelangten zu Leonhard Euler in Berlin, der seine Originalität erkannte und ihn zu weiterer Arbeit ermutigte. Der Austausch band ihn in das führende mathematische Netzwerk der Aufklärung ein.

Er führte eine systematische Technik zur Optimierung unter Nebenbedingungen ein und brachte zugleich die Variationsrechnung voran. Die Methode lieferte eine mächtige Sprache, um Geometrie, Mechanik und später auch Ökonomie über Nebenbedingungen zu verknüpfen.

Die Académie Royale des Sciences zeichnete seine Arbeit über die Libration des Mondes aus, ein schwieriges Problem vom Typ eines Dreikörperproblems, das für Navigation und Astronomie zentral war. Der Preis etablierte ihn als führende Autorität der Himmelsmechanik.

Auf Einladung Friedrichs des Großen wechselte er an die Preußische Akademie der Wissenschaften in Berlin, um Eulers Führungsrolle zu übernehmen. In Berlin verfasste er eine lange Reihe von Abhandlungen über Mechanik, Zahlentheorie und Astronomie.

Er heiratete seine Cousine Vittoria Conti in Berlin und suchte häusliche Stabilität neben intensiver wissenschaftlicher Arbeit. Die Beziehung war kurz, und ihre spätere Krankheit belastete seine ohnehin fragile seelische Verfassung schwer.

Er analysierte gravitative Gleichgewichte im eingeschränkten Dreikörperproblem und identifizierte stabile Konfigurationen, die später Lagrange-Punkte genannt wurden. Diese Ideen prägten die Himmelsmechanik neu und leiteten schließlich die Planung moderner Raumfahrtmissionen.

Nach Jahren von Memoiren arbeitete er daran, die Mechanik in einem einzigen analytischen Rahmen auf der Grundlage von Energie und virtueller Arbeit zu vereinen. Er wollte geometrische Konstruktionen durch algebraische Operationen ersetzen, die sich verallgemeinern lassen.

Mit veränderten Förderverhältnissen in Preußen nahm er Einladungen aus Frankreich an und bereitete den Umzug vor. Der Schritt markierte den Übergang von hofgestützter Wissenschaft in Berlin zu den zentralisierten Institutionen und Akademien von Paris.

Er veröffentlichte die "Mécanique analytique" und stellte die Mechanik als Folge von Variationsprinzipien und verallgemeinerten Koordinaten dar. Die berühmte, nahezu abbildungsfreie Darstellung unterstrich, dass sich Dynamik durch reine Analyse ableiten lässt.

Während die revolutionären Umwälzungen Paris veränderten, blieb er wegen seiner technischen Expertise und seiner vorsichtigen politischen Zurückhaltung geschätzt. Sein Ansehen in der Akademie und in wissenschaftlichen Kreisen half ihm, die schlimmsten Gefahren für Außenseiter zu vermeiden.

Während der revolutionären Neuordnung des Bildungswesens hielt er Vorlesungen an der École Normale und trug zum mathematischen Curriculum der École Polytechnique bei. Sein klarer analytischer Ansatz prägte, wie Ingenieure Mechanik und Analysis erlernten.

Er wirkte im Bureau des Longitudes und verband Mathematik mit Navigation, Kartographie und nationalen Standards. In derselben Zeit unterstützte er das Projekt des metrischen Systems und richtete das Messen an der Rationalität der Aufklärung aus.

Er heiratete Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, die Tochter des Astronomen Pierre Charles Le Monnier, und gewann einen unterstützenden Haushalt. Freunde bemerkten bessere Stimmung und eine beständigere Produktivität in seinen späteren Pariser Jahren.

Das Regime Napoleons zeichnete ihn mit elitären Auszeichnungen aus, was die Abhängigkeit des Staates von wissenschaftlicher Autorität widerspiegelte. Sein Status symbolisierte, wie Mathematiker für Verwaltung, Bildung und das Prestige Frankreichs zentral wurden.

Er starb am 10. April 1813 in Paris nach Jahrzehnten im Zentrum der europäischen mathematischen Wissenschaft. Kollegen würdigten ihn dafür, die Mechanik in Analysis verwandelt und dauerhafte Maßstäbe für Strenge und Eleganz gesetzt zu haben.