Nació en la familia Bolyai en Cluj, entonces en la región de Transilvania bajo dominio de los Habsburgo. Su padre, Farkas Bolyai, era matemático y mantenía una estrecha correspondencia con Carl Friedrich Gauss.

Farkas Bolyai lo instruyó personalmente de forma intensa, con énfasis en la demostración rigurosa y la geometría clásica. La red intelectual del hogar lo expuso desde temprano a las matemáticas europeas y a la reputación de Gauss.

Siguió estudios exigentes moldeados por instituciones educativas reformadas de Transilvania, equilibrando lenguas, ciencias y matemáticas. Su talento inusual se hizo evidente con rapidez para maestros y amigos de la familia.

Inspirado por los Elementos de Euclides y por las advertencias de su padre sobre el postulado de las paralelas, inició investigaciones independientes. Buscó una geometría consistente que evitara asumir directamente el quinto postulado de Euclides.

Ingresó en la Academia Militar Teresiana, donde recibió formación de élite en ingeniería, fortificación y matemáticas aplicadas. El plan de estudios disciplinado fortaleció su precisión técnica y su resistencia ante problemas complejos.

Concluyó sus estudios y pasó al servicio dentro de la estructura militar de los Habsburgo. Las tareas de ingeniería militar exigían medición y razonamiento geométrico, reforzando su confianza en el pensamiento espacial.

En una carta a su padre declaró que había creado, respecto de las paralelas, un "mundo nuevo y diferente" de la nada. Ese momento marcó su giro decisivo: de reformar a Euclides a construir una geometría nueva.

Mientras servía como oficial del ejército, afinó un sistema coherente en el que pasan múltiples paralelas por un punto. Sus notas buscaron la consistencia interna, con el objetivo de mostrar que la geometría podía sostenerse sin el quinto postulado de Euclides.

Los problemas de salud y las presiones del servicio dificultaron disponer de tiempo sostenido para investigar. A pesar de los contratiempos, siguió trabajando en privado, tratando la geometría como una misión intelectual de por vida y no como un pasatiempo.

Ordenó sus resultados en un tratado conciso en latín, concebido para acompañar el manual de su padre. La obra presentaba un camino sistemático de "geometría absoluta" que desembocaba en una teoría plenamente no euclidiana del espacio.

Su "Appendix Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens" apareció en el Tentamen de Farkas Bolyai, impreso para un público erudito europeo. Ofreció una de las primeras construcciones publicadas y rigurosas de la geometría hiperbólica.

Farkas envió la obra a Carl Friedrich Gauss, quien respondió que elogiarla sería "elogiarse a sí mismo", insinuando ideas previas similares. La respuesta decepcionó a János y subrayó cómo una intuición no publicada puede aun así moldear la reputación.

Desalentado por la recepción y por preocupaciones sobre la prioridad, se volvió más reservado al compartir resultados. Continuó sus investigaciones en privado, pero sus ideas más revolucionarias quedaron en gran medida aisladas de los matemáticos dominantes.

Tras años de destinos, se retiró de la vida militar plena y se estableció de nuevo en Transilvania. El cambio le dio estabilidad, pero le costó convertir sus hallazgos solitarios en reconocimiento académico más amplio.

Mantuvo cuadernos sobre geometría y álgebra mientras vivía lejos de las grandes universidades europeas. Sin apoyo institucional constante, su trabajo circuló muy poco, aun cuando la matemática avanzaba hacia nuevos fundamentos.

Las revoluciones de 1848 transformaron la política en Hungría y Transilvania, alterando la vida cívica y las carreras. En ese contexto turbulento, sus intereses intelectuales siguieron siendo mayormente privados y desvinculados de las instituciones públicas.

Aunque no fue ampliamente celebrado durante su vida, la familia y círculos locales preservaron sus papeles y el Apéndice publicado. Esos materiales permitieron después a los historiadores de la matemática reconocer la magnitud de su avance.

Murió tras una vida marcada por la audacia intelectual y un reconocimiento contemporáneo limitado. Su geometría no euclidiana se volvió más tarde central para la matemática moderna e influyó en las concepciones del espacio en la física.