Nació el 25 de enero de 1736 en Turín, Reino de Cerdeña, hijo de Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia y Maria Teresa Grosso. Criado en una familia con finanzas menguantes, se inclinó hacia el estudio y una disciplina intelectual rigurosa.

En la adolescencia dejó atrás las lenguas y la retórica al conocer obras influidas por Isaac Newton y por los primeros analistas italianos. Ese descubrimiento reorientó sus ambiciones hacia la física matemática y el razonamiento basado en demostraciones.

Redactó un primer trabajo sobre el cálculo de variaciones y los problemas isoperimétricos, inspirado por los desafíos de Johann Bernoulli. Aunque preliminar, reveló un talento inusual para reducir cuestiones físicas a una forma analítica.

Comenzó a enseñar en la Escuela Real de Artillería de Turín, donde las exigencias técnicas favorecían métodos matemáticos claros. Sus lecciones y apuntes ayudaron a afinar ideas que más tarde madurarían en una mecánica generalizada.

Junto con Giovanni Cigna y otros colegas, ayudó a fundar una sociedad erudita que evolucionó hacia la Academia de Ciencias de Turín. Las actas del grupo le dieron una plataforma para publicar y cartearse con científicos de toda Europa.

Sus resultados sobre métodos variacionales y mecánica llegaron a Leonhard Euler en Berlín, quien reconoció su originalidad y lo animó a continuar. Ese intercambio lo integró en la principal red matemática de la Ilustración.

Introdujo una técnica sistemática para la optimización con restricciones mientras avanzaba el cálculo de variaciones. El método ofreció un lenguaje poderoso para vincular geometría, mecánica y, más tarde, economía mediante ecuaciones de restricción.

La Academia Real de Ciencias reconoció su trabajo sobre la libración de la Luna, un difícil problema al estilo de los tres cuerpos, central para la navegación y la astronomía. El premio lo consolidó como una autoridad destacada en mecánica celeste.

Invitado por Federico el Grande, se trasladó a la Academia Prusiana de Ciencias en Berlín para suceder a Euler en su papel de liderazgo. En Berlín produjo una larga serie de memorias sobre mecánica, teoría de números y astronomía.

Se casó con su prima Vittoria Conti en Berlín, buscando estabilidad doméstica junto a un trabajo intelectual intenso. La relación fue breve, y la enfermedad posterior de ella pesó mucho sobre su ya frágil salud emocional.

Analizó equilibrios gravitatorios en el problema restringido de los tres cuerpos, identificando configuraciones estables que más tarde se llamarían puntos de Lagrange. Estas ideas transformaron la mecánica celeste y terminaron guiando el diseño de misiones espaciales modernas.

Tras años de memorias, trabajó para unificar la mecánica en un solo marco analítico basado en la energía y el trabajo virtual. Su objetivo era sustituir construcciones geométricas por operaciones algebraicas generalizables.

Con el cambio de patronazgo en Prusia, aceptó invitaciones de Francia y se preparó para trasladarse. El cambio marcó una transición desde la ciencia apoyada por la corte en Berlín hacia las instituciones centralizadas de París.

Publicó la Mecánica analítica, presentando la mecánica como consecuencia de principios variacionales y coordenadas generalizadas. La célebre escasez de diagramas subrayaba que la dinámica podía derivarse mediante análisis puro.

Mientras la agitación revolucionaria transformaba París, siguió siendo valorado por su pericia técnica y su cuidadosa prudencia política. Su posición en la academia y en los círculos científicos le ayudó a evitar los peores peligros que afrontaban los forasteros.

Durante la reorganización revolucionaria de la educación, impartió lecciones para la Escuela Normal y contribuyó al currículo matemático de la Escuela Politécnica. Su enfoque analítico y claro moldeó cómo los ingenieros aprendían mecánica y cálculo.

Sirvió en la Oficina de Longitudes, vinculando las matemáticas con la navegación, la cartografía y los estándares nacionales. En el mismo periodo apoyó el proyecto del sistema métrico, alineando la medida con la racionalidad ilustrada.

Se casó con Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, hija del astrónomo Pierre Charles Le Monnier, y ganó un hogar de apoyo. Sus amistades notaron un ánimo mejorado y una productividad más constante durante sus últimos años en París.

El régimen de Napoleón lo recompensó con distinciones de élite, reflejo de la dependencia del Estado de la autoridad científica. Su estatus simbolizó cómo los matemáticos pasaron a ser centrales para la administración, la educación y el prestigio de Francia.

Murió el 10 de abril de 1813 en París tras décadas en el corazón de la ciencia matemática europea. Sus colegas lo recordaron por transformar la mecánica en análisis y establecer estándares duraderos de rigor y elegancia.