ロシア帝国の地方都市ニジニ・ノヴゴロドに生まれ、啓蒙期の科学と帝国官僚制の影響を受ける時代に育った。幼少期は決して豊かではなく、教育によって道を切り開くという実際的な意志を強めていった。

父イワン・ロバチェフスキーの死後、家計は逼迫し、家族は教育の機会に活路を求めた。カザン方面への移動によって、国家の教育改革に支えられた新たな知の中心に近づくことになった。

帝国の官務に備えるため、数学や語学を教えるカザン高等学校に入学した。教師たちは彼の強い集中力と才能に気づき、彼自身も暗記より幾何と論証に惹かれていった。

ヴォルガ河畔の新たな近代機関として設立されたばかりのカザン大学に入学した。大学は欧州の学術と教科書を取り入れており、ユークリッドや微積分、科学方法をめぐる当時の議論に触れる機会を得た。

ドイツ出身の数学者バルテルスと近く学び働き、厳密な証明と広い読書を促された。のちに平行線公準を疑ううえで、この習慣が大きな支えとなった。

能力の高さと人員不足を背景に、早期に数学教育を担う任命を受けた。幾何と解析を講じながら、ユークリッドの公理が唯一不可欠なのかを私的に探究し始めた。

教授に昇進し、課程や試験の編成により大きな自由を得た。この立場は、幾何の論理を磨き、学生の問いや古典的証明と照らし合わせて着想を鍛える場となった。

研究に加えて、教育水準や規律の維持など、運営上の責任も引き受けた。統治と学術の両立は、その後、論争的な幾何学を不安定な環境で公表しようとする際の中心課題となった。

一点を通って、ある直線に平行な直線が複数存在しうる幾何学を講義で示した。その主張はユークリッドの権威を揺るがしたが、彼は逆説ではなく、論理的に整合した別体系として提示した。

政治的に慎重さが求められた時代に、ロシアの主要地方大学の長として選ばれた。研究室や教育の質、図書の充実を進めつつ、学術活動が圧力に晒されないよう守ろうとした。

コレラ流行の最中、感染拡大の危険を抑えながら大学機能を維持するための措置を組織した。危機対応は、数学者としてだけでなく、堅実な管理者としての評価も強めた。

平行線公準を退ける一貫した幾何学を記述し、そのための新しい三角法的関係も展開した。ロシアと欧州の双方で懐疑が強く、独創性にもかかわらず流布は緩やかだった。

新理論をより扱いやすくするため、幾何的直観と解析計算を結びつけて成果を広げた。抽象的な公理を計算可能な結果へ接続し、別幾何学が言葉遊びではないことを示そうとした。

数十年の思索をまとめた代表的な叙述を公刊した。ロシア語で印刷され、のちにより広い読者へ届き、幾何学の公理は論理の整合性と応用によって吟味される仮説だと主張した。

長年の奉職ののち、官僚的緊張と内部批判の高まりの中で総長の座を追われた。これは影響力と収入を減じ、帝国の行政構造のもとで学問の自由がいかに脆いかを示した。

晩年、視力の低下を含む健康悪化に苦しみ、収入が減る中で家族の責任も抱えた。それでも執筆と書簡を続け、幾何学の革新が正当に認められることを求めた。

欧州の数学者が基礎を見直し始めるにつれ、かつての異端視は先見性として映り始めた。彼は晩年の原稿と改訂に取り組み、伝統ではなく論理の強さで評価されることを望んだ。

カザンで没し、のちに幾何学を変革し数理物理にも影響を与える仕事を遺した。評価は遅れて訪れたが、ユークリッドに代わる整合的な選択肢を主張した姿勢は、現代数学の空間理解を大きく作り替えた。