사르데냐 왕국의 토리노에서 1736년 1월 25일, 주세페 프란체스코 로도비코 라그랑지아와 마리아 테레사 그로소 사이에서 태어났다. 집안의 재정이 점차 기울던 환경에서 자라며 학문과 절제된 공부에 더욱 마음을 두었다.

십대 시절, 뉴턴의 영향과 초기 이탈리아 해석학자들의 흐름을 잇는 저작들을 접한 뒤 언어와 수사학 중심의 공부를 넘어섰다. 이 발견은 그의 포부를 수학물리와 증명 중심의 사고로 결정적으로 돌려놓았다.

요한 베르누이의 도전 과제들에서 영감을 받아 변분법과 등주 문제에 관한 초기 논문을 작성했다. 비록 예비적 성격이었지만, 물리적 질문을 해석적 형식으로 환원하는 비범한 재능을 드러냈다.

토리노의 왕립 포병학교에서 강의를 시작했으며, 기술적 요구가 분명한 환경은 명확한 수학적 방법을 중시하게 했다. 그의 강의와 노트는 훗날 일반화된 역학으로 성숙할 생각들을 다듬는 데 도움이 되었다.

조반니 치냐 등 동료들과 함께 학술 단체를 세우는 데 힘을 보탰고, 이 단체는 훗날 토리노 과학 학술원으로 발전했다. 학회 회보는 그가 연구를 발표하고 유럽 각지와 서신을 주고받는 발판이 되었다.

변분적 방법과 역학에 관한 그의 성과가 베를린의 오일러에게 전해졌고, 오일러는 독창성을 알아보고 연구를 더 이어가도록 격려했다. 이 교류는 그를 계몽주의 시대 최고의 수학 네트워크로 편입시켰다.

변분법을 발전시키는 과정에서 제약 조건이 있는 최적화를 위한 체계적 기법을 도입했다. 이 방법은 제약 방정식을 통해 기하, 역학, 그리고 훗날 경제학까지 잇는 강력한 언어를 제공했다.

왕립 과학 학술원은 항해와 천문학에 핵심적인 난제였던 달의 천칭 운동 연구를 높이 평가했다. 이 수상은 그를 천체역학의 대표적 권위자로 확고히 자리매김시켰다.

프리드리히 대왕의 초청으로 베를린의 프로이센 과학 학술원으로 옮겨 오일러가 맡았던 지도적 역할을 계승했다. 베를린에서 그는 역학, 정수론, 천문학에 관한 방대한 논문 연작을 남겼다.

학문적 몰두와 더불어 가정의 안정을 바라고 사촌인 비토리아 콘티와 베를린에서 결혼했다. 그러나 관계는 오래가지 못했고, 그녀의 뒤이은 병환은 이미 취약하던 그의 정서적 건강에 큰 부담이 되었다.

제한된 삼체 문제에서 중력적 평형을 분석해, 훗날 라그랑주 점이라 불리게 되는 안정적 배치를 찾아냈다. 이 생각은 천체역학을 재편했고, 결국 현대 우주 임무 설계의 지침이 되었다.

여러 해에 걸친 논문 작업 뒤, 에너지와 가상일에 기반한 하나의 해석적 틀로 역학을 통일하려 했다. 그는 기하학적 구성 대신 일반화 가능한 대수적 조작으로 역학을 대체하는 것을 목표로 삼았다.

프로이센에서 후원이 변화하자 프랑스의 초청을 받아들이고 이주를 준비했다. 이 이동은 베를린의 궁정 후원 과학에서 파리의 중앙집권적 제도와 학술원 중심 과학으로의 전환을 의미했다.

변분 원리와 일반화 좌표의 결과로서 역학을 제시한 해석역학을 출간했다. 도해를 최소화한 구성은 역학이 순수한 해석을 통해 도출될 수 있음을 강조한 것으로 유명하다.

혁명적 격변이 파리를 뒤흔드는 가운데, 그는 기술적 전문성과 신중한 정치적 절제로 가치를 인정받았다. 학술원과 과학계에서의 위상은 외부인에게 닥친 최악의 위험을 피하는 데 도움이 되었다.

혁명기 교육 재편 과정에서 사범학교에서 강의했고, 공과학교의 수학 교육과정에도 기여했다. 그의 명료한 해석적 접근은 공학도들이 역학과 미적분을 배우는 방식에 큰 영향을 주었다.

경도국에서 활동하며 수학을 항해, 지도 제작, 국가 표준과 연결했다. 같은 시기 그는 미터법 추진을 지지해 측정을 계몽주의적 합리성과 정합되게 만들고자 했다.

천문학자 피에르 샤를 르모니에의 딸인 르네프랑수아즈아델라이드 르모니에와 결혼해 지지적인 가정을 꾸렸다. 지인들은 파리에서의 말년 동안 그의 기분이 좋아지고 생산성이 더 안정되었다고 기록했다.

나폴레옹 정권은 그에게 최고급 훈장과 지위를 부여하며 국가가 과학적 권위에 의존했음을 보여주었다. 그의 위상은 수학자가 행정, 교육, 그리고 프랑스의 명성에서 중심이 되었음을 상징했다.

유럽 수학 과학의 중심에서 수십 년을 보낸 뒤 1813년 4월 10일 파리에서 세상을 떠났다. 동료들은 역학을 해석학으로 변모시키고 엄밀함과 우아함의 지속적 기준을 세운 공로를 기렸다.