러시아 제국의 지방 도시 니즈니노브고로드에서 태어나 계몽주의 과학과 제국 관료제가 빚어낸 시대를 맞이했다. 어린 시절은 넉넉지 않은 형편 속에서 보냈고, 이는 교육을 통해 신분을 높이겠다는 실용적 결의를 더욱 굳게 만들었다.

부친 이반 로바쳅스키가 세상을 떠난 뒤 가족은 재정적 어려움에 직면했고, 교육 기회를 통해 안정을 찾고자 했다. 카잔으로의 이주는 러시아 국가의 교육 개혁이 뒷받침한 성장하는 지적 중심지 가까이에 그를 놓아 주었다.

그는 제국의 관료·공무 인재를 양성하기 위해 수학과 언어를 가르치던 카잔 김나지움에 들어갔다. 교사들은 그의 강한 집중력과 재능을 눈여겨보았고, 그는 암기보다 기하와 논리적 논증에 더 끌렸다.

볼가 강 변의 변경 지역에 현대적 기관으로 세워진 카잔 대학에, 설립 직후 입학했다. 대학은 유럽의 학문과 교재를 도입해 유클리드, 미적분, 과학 방법을 둘러싼 당대의 논쟁에 그가 접근할 수 있게 했다.

그는 독일 출신 수학자이자 한때 가우스의 스승이었던 요한 크리스티안 마르틴 바르텔스와 가깝게 공부하고 일했다. 바르텔스는 엄밀한 증명과 폭넓은 독서를 장려했고, 이러한 습관은 훗날 로바쳅스키가 평행선 공준을 의심하는 데 큰 힘이 되었다.

그는 능력과 더불어 인력난에 시달리던 대학의 필요가 맞물려 이른 나이에 수학을 가르치게 되었다. 기하와 해석학을 강의하는 한편, 유클리드의 공리들이 유일하게 필연적인지 여부를 개인적으로 탐구하기 시작했다.

그는 교수로 승진해 카잔 대학의 교과 과정과 시험을 더 자유롭게 설계할 수 있게 되었다. 이 지위는 기하학에 대한 그의 논리적 접근을 다듬고, 학생들의 질문과 고전적 증명에 비추어 자신의 생각을 시험할 기회를 제공했다.

그는 연구를 넘어 교육 기준과 기관 규율을 감독하는 등 더 큰 책임을 받아들였다. 통치와 학문의 균형은 이후 불안한 분위기 속에서 논쟁적인 기하학 사상을 출판하려 할 때 핵심 과제가 되었다.

그는 한 점을 지나면서 주어진 직선과 평행한 직선을 여러 개 그을 수 있는 기하학을 개략적으로 제시하는 강연을 했다. 이는 유클리드 권위에 기댄 수세기의 전통을 정면으로 도전했으며, 그는 이를 역설이 아니라 논리적으로 일관된 대안으로 설명했다.

그는 데카브리스트 봉기 이후 정치적으로 조심스러운 시기에 러시아의 핵심 지역 대학 중 하나인 카잔 대학의 총장이 되었다. 그는 실험실과 교육의 질, 도서관 장서를 개선하는 한편, 외부 압력으로부터 학문 활동을 지키려 했다.

1830년 콜레라 유행 동안 그는 전염 위험을 줄이면서도 대학 기능이 멈추지 않도록 조치를 조직했다. 위기는 물자·인력 운영과 대중의 신뢰를 요구했고, 그는 수학자이자 안정적인 행정가라는 평판을 굳혔다.

그는 유클리드의 평행선 공준을 거부하면서도 일관성을 갖춘 기하학을 기술하고, 그에 대한 새로운 삼각법 관계를 전개한 영향력 있는 연구를 내놓았다. 러시아와 유럽의 독자들이 회의적이었던 탓에, 이러한 출판물은 독창성에도 불구하고 확산이 더뎠다.

그는 기하학적 직관과 해석적 계산을 결합해 자신의 이론을 더 실용적으로 만들려 했다. 추상적 공리를 계산 가능한 결과로 연결함으로써, 대안 기하학이 단순한 말장난이 아님을 보여 주고자 했다.

그는 수십 년의 사유를 정리한 가장 유명한 해설서를 출판했다. 러시아어로 인쇄된 뒤 더 넓은 독자층에 전해졌고, 기하학의 공리는 논리적 일관성과 적용으로 시험되는 가설이라는 주장을 펼쳤다.

오랜 재직 끝에 관료적 긴장과 내부 비판이 쌓이면서 그는 총장직에서 밀려나게 되었다. 이는 그의 제도적 영향력과 수입을 줄였고, 제국의 행정 구조 속에서 학문적 자유가 얼마나 취약한지 보여 주었다.

말년에는 시력 저하를 포함한 건강 악화가 진행되었고, 줄어든 수입 속에서 가족 부양의 책임을 감당해야 했다. 그럼에도 그는 글을 쓰고 서신을 주고받으며, 자신의 기하학적 혁명이 인정받도록 애썼다.

유럽의 수학자들이 기초 문제를 재검토하면서, 그의 초기 사상은 이단이 아니라 선견지명으로 보이기 시작했다. 그는 후기 원고와 개정을 이어 가며, 자신의 접근이 전통이 아니라 논리적 힘으로 평가받길 바랐다.

그는 카잔에서 세상을 떠났고, 이후 기하학을 변혁시키고 수학적 물리학에도 영향을 준 업적을 남겼다. 인정은 더뎠지만, 유클리드에 대한 일관된 대안을 끝까지 밀어붙인 그의 태도는 현대 수학의 공간 이해를 다시 쓰게 했다.