Nasceu na família Bolyai em Cluj, então numa região da Transilvânia sob domínio dos Habsburgo. O seu pai, Farkas Bolyai, era matemático e mantinha estreita correspondência com Carl Friedrich Gauss.

Farkas Bolyai deu-lhe aulas intensivas, com ênfase em demonstrações rigorosas e na geometria clássica. A rede erudita da casa expôs-o cedo à matemática europeia e à reputação de Gauss.

Seguiu estudos exigentes moldados por instituições reformadas da Transilvânia, conciliando línguas, ciências e matemática. O seu talento invulgar tornou-se rapidamente evidente para professores e amigos da família.

Inspirado pelos Elementos de Euclides e pelos avisos do pai sobre o postulado das paralelas, iniciou investigações independentes. Procurou uma geometria consistente que evitasse assumir diretamente o quinto postulado de Euclides.

Ingressou na Academia Militar Teresiana, recebendo formação de elite em engenharia, fortificação e matemática aplicada. O currículo disciplinado reforçou a sua precisão técnica e a resistência para problemas complexos.

Concluiu os estudos e entrou ao serviço na estrutura militar dos Habsburgo. As tarefas de engenharia militar exigiam levantamentos e raciocínio geométrico, reforçando a sua confiança no pensamento espacial.

Numa carta ao pai, declarou ter criado, em matéria de paralelas, “um mundo novo, diferente”, a partir do nada. Esse momento marcou a sua viragem decisiva: de reformar Euclides para construir uma nova geometria.

Enquanto servia como oficial do exército, refinou um sistema coerente no qual múltiplas paralelas passam por um ponto. As suas notas buscavam consistência interna, visando mostrar que a geometria podia existir sem o quinto postulado de Euclides.

Problemas de saúde e as pressões do serviço dificultaram manter um tempo de pesquisa contínuo. Apesar dos contratempos, continuou a trabalhar em privado, tratando a geometria como uma missão intelectual de toda a vida.

Organizou os resultados num tratado latino conciso, destinado a acompanhar o manual do pai. A obra apresentava um percurso sistemático de “geometria absoluta” que conduzia a uma teoria plenamente não euclidiana do espaço.

O seu tratado latino foi publicado no Tentamen de Farkas Bolyai, impresso para um público erudito europeu. Trouxe uma das primeiras construções publicadas e rigorosas da geometria hiperbólica.

Farkas enviou a obra a Carl Friedrich Gauss, que respondeu que elogiá-la seria “elogiar a si próprio”, insinuando ter tido ideias semelhantes antes. A resposta desapontou János e evidenciou como a intuição não publicada pode moldar reputações.

Desencorajado pela receção e por questões de prioridade, tornou-se mais cauteloso em partilhar resultados. Continuou investigações em privado, mas as suas ideias mais revolucionárias permaneceram em grande parte isoladas do meio matemático dominante.

Após anos de destacamentos, afastou-se da vida militar plena e voltou a estabelecer-se na Transilvânia. A mudança trouxe estabilidade, mas ele teve dificuldade em transformar descobertas solitárias em reconhecimento académico mais amplo.

Manteve cadernos de notas sobre geometria e álgebra, vivendo longe das grandes universidades europeias. Sem apoio institucional constante, o seu trabalho circulou pouco, mesmo enquanto a matemática avançava para novas bases.

As revoluções de 1848 remodelaram a política na Hungria e na Transilvânia, perturbando a vida cívica e as carreiras. Nesse contexto turbulento, as suas buscas intelectuais permaneceram sobretudo privadas e afastadas das instituições públicas.

Embora não fosse amplamente celebrado em vida, a família e círculos locais preservaram os seus papéis e o apêndice publicado. Esses materiais permitiram mais tarde a historiadores da matemática reconhecer a dimensão da sua descoberta.

Morreu após uma vida marcada por ousadia intelectual e reconhecimento contemporâneo limitado. A sua geometria não euclidiana tornou-se depois central na matemática moderna e influenciou conceções de espaço na física.