Nasceu a 25 de janeiro de 1736, em Turim, no Reino da Sardenha, filho de Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia e Maria Teresa Grosso. Criado numa família com finanças em declínio, inclinou-se para a erudição e para um estudo disciplinado.

Na adolescência, foi além das línguas e da retórica ao contactar obras influenciadas por Isaac Newton e pelos primeiros analistas italianos. Essa descoberta redirecionou as suas ambições para a física matemática e para o raciocínio baseado em demonstrações.

Redigiu um texto inicial sobre o cálculo das variações e problemas isoperimétricos, inspirado nos desafios de Johann Bernoulli. Embora preliminar, já revelava um talento invulgar para reduzir questões físicas a uma forma analítica.

Começou a lecionar na Escola Real de Artilharia de Turim, onde as exigências técnicas favoreciam métodos matemáticos claros. As suas aulas e apontamentos ajudaram a depurar ideias que mais tarde amadureceriam numa mecânica generalizada.

Com Giovanni Cigna e outros colegas, ajudou a fundar uma sociedade erudita que evoluiu para a Accademia delle Scienze di Torino. As publicações do grupo deram-lhe uma plataforma para publicar e corresponder-se por toda a Europa.

Os seus resultados em métodos variacionais e mecânica chegaram a Leonhard Euler, em Berlim, que reconheceu a sua originalidade e incentivou novos trabalhos. A troca integrou-o na principal rede matemática do Iluminismo.

Introduziu uma técnica sistemática para otimização com restrições enquanto fazia avançar o cálculo das variações. O método ofereceu uma linguagem poderosa para ligar geometria, mecânica e, mais tarde, economia através de equações de restrição.

A Académie Royale des Sciences distinguiu o seu trabalho sobre a libração da Lua, um problema difícil do tipo três-corpos, central para a navegação e a astronomia. O prémio consolidou-o como uma autoridade de primeira linha em mecânica celeste.

Convidado por Frederico, o Grande, mudou-se para a Academia Prussiana de Ciências, em Berlim, para suceder a Euler numa função de liderança. Em Berlim produziu uma longa série de memórias sobre mecânica, teoria dos números e astronomia.

Casou-se com a sua prima Vittoria Conti em Berlim, procurando estabilidade doméstica a par de um trabalho académico intenso. A relação foi breve, e a doença posterior dela pesou fortemente na sua já frágil saúde emocional.

Analisou equilíbrios gravitacionais no problema restrito dos três corpos, identificando configurações estáveis mais tarde chamadas pontos de Lagrange. Essas ideias reformularam a mecânica celeste e, por fim, orientaram o desenho de missões espaciais modernas.

Após anos de memórias, trabalhou para unificar a mecânica num único quadro analítico baseado em energia e trabalho virtual. Pretendia substituir construções geométricas por operações algébricas que pudessem ser generalizadas.

Com a mudança de patronato na Prússia, aceitou convites de França e preparou-se para se relocalizar. A mudança marcou a transição da ciência apoiada pela corte em Berlim para as instituições centralizadas e academias de Paris.

Publicou a Mecânica Analítica, apresentando a mecânica como consequência de princípios variacionais e coordenadas generalizadas. A famosa escassez de diagramas no livro sublinhava que a dinâmica podia ser deduzida por análise pura.

À medida que a agitação revolucionária remodelava Paris, permaneceu valorizado pela sua competência técnica e prudência política. A sua posição na Académie e nos círculos científicos ajudou-o a evitar os piores perigos que ameaçavam estrangeiros.

Durante a reorganização revolucionária da educação, lecionou na École Normale e contribuiu para o currículo matemático da École Polytechnique. A sua abordagem analítica e clara moldou a forma como engenheiros aprenderam mecânica e cálculo.

Serviu no Bureau des Longitudes, ligando a matemática à navegação, cartografia e padrões nacionais. No mesmo período apoiou o projeto do sistema métrico, alinhando a medição com a racionalidade iluminista.

Casou-se com Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, filha do astrónomo Pierre Charles Le Monnier, passando a viver num lar de apoio. Amigos notaram melhor disposição e uma produtividade mais estável nos seus últimos anos em Paris.

O regime de Napoleão recompensou-o com distinções de elite, refletindo a dependência do Estado da autoridade científica. O seu estatuto simbolizou como os matemáticos se tornaram centrais para a administração, a educação e o prestígio de França.

Morreu a 10 de abril de 1813, em Paris, após décadas no coração da ciência matemática europeia. Colegas homenagearam-no por transformar a mecânica em análise e por estabelecer padrões duradouros de rigor e elegância.