当時ハプスブルク支配下にあったトランシルヴァニア地方のクルジュで、ボリャイ家に生まれた。父ボリャイ・ファルカシュは数学者で、カール・フリードリヒ・ガウスと親しい書簡交流を持っていた。

父ファルカシュが集中的に直接指導し、厳密な証明と古典幾何学を重視した。家庭の学術的な人脈により、ヨーロッパの数学界とガウスの名声に早くから触れた。

トランシルヴァニアの改革派教育機関の影響を受けた厳しい課程で、語学・科学・数学を並行して学んだ。並外れた才能はすぐに教師や家族の友人たちの目にも明らかになった。

ユークリッド原論と、父が警告した平行線の公準への問題意識に刺激され、独自の探究を始めた。第五公準をそのまま仮定せずに成り立つ整合的な幾何学を求めた。

テレジア軍事学校に入り、工学・築城術・応用数学の高度な訓練を受けた。規律ある課程は、技術的精密さと難問に耐える持久力を強めた。

学業を修了し、ハプスブルク軍の制度の中で勤務を開始した。軍の測量や工兵任務は幾何学的推論を要し、空間把握への自信をいっそう強めた。

父への手紙で、平行線について無から全く新しい別の世界を作ったと宣言した。この瞬間、ユークリッドの改修から新しい幾何学の構築へと決定的に舵を切った。

陸軍士官として勤務する一方で、一点を通る複数の平行が成り立つ体系を練り上げた。内的整合性を追究し、第五公準なしでも幾何学が成立することを示そうとした。

健康問題と軍務の重圧が、研究時間の確保を難しくした。それでも挫折に屈せず、幾何学を生涯の使命として私的に研究を続けた。

父の教科書に添えるため、成果を簡潔なラテン語論考として整理した。絶対幾何学の道筋を示し、そこから完全な非ユークリッド的空間理論へ導く体系を提示した。

空間の絶対的真理の学を示す付録が、父ファルカシュの著作に収められ、ヨーロッパの学界に向けて印刷された。双曲幾何学を厳密に構成した、史上最初期の公刊成果の一つとなった。

父が成果をガウスへ送ると、ガウスは称賛すれば自分を称賛することになると返し、以前から同様の考えがあったことを示唆した。この返答はヤーノシュを落胆させ、未公刊の洞察が評価に影響しうる現実を浮き彫りにした。

反応の冷たさや優先権への不安から、成果の公表に慎重になった。私的な探究は続けたが、最も革命的な発想の多くは主流の数学者から隔絶したままになった。

転属を重ねた年月ののち、軍人としての生活から退き、トランシルヴァニアに戻って落ち着いた。安定は得たが、孤独な発見を広い学界の評価へ結びつけるのに苦しんだ。

主要なヨーロッパの大学から離れて暮らしながら、幾何学と代数学のノートを保ち続けた。制度的支援が乏しいため成果の流通は限られたが、数学は新たな基礎へ向かって進んでいた。

一八四八年の革命はハンガリーとトランシルヴァニア一帯の政治を揺さぶり、市民生活や職業を混乱させた。この激動の中でも、彼の知的探究は主として私的で公的制度から距離を置いたものだった。

生前は広く称賛されなかったが、家族や地域の人々が論文草稿と公刊された付録を保存した。これらの資料がのちに数学史家により再評価され、突破の規模が認識される基盤となった。

知的な大胆さと、同時代には限られた評価という生涯を経て没した。彼の非ユークリッド幾何学はのちに現代数学の中心となり、物理学における空間観にも影響を与えた。