1736年1月25日、サルデーニャ王国のトリノで、ジュゼッペ・フランチェスコ・ロドヴィーコ・ラグランジアとマリア・テレーザ・グロッソの子として生まれた。家計が次第に苦しくなる家庭で育ち、学問と規律ある勉学へと強く惹かれていった。

十代の頃、ニュートンの影響を受けた著作や初期のイタリアの解析学者の仕事に触れ、言語や修辞の学習を超えて数学へ進んだ。この出会いが、数学的物理と証明に基づく思考へと志を定める転機となった。

変分法と等周問題に関する初期の論考を起草し、ヨハン・ベルヌーイの課題に触発された。未成熟ではあったが、物理的問題を解析的な形へ還元する並外れた才能を示した。

トリノの王立砲兵学校で教え始め、技術的要請の強い環境の中で明晰な数学的方法が求められた。講義とノートは、後に一般化力学へ成熟する着想を洗練させる助けとなった。

ジョヴァンニ・チーニャら同僚とともに、のちにトリノ科学アカデミーへ発展する学術団体の設立に関わった。紀要は、研究成果の発表とヨーロッパ各地との往復書簡の場を与えた。

変分法と力学に関する成果がベルリンのオイラーに届き、独創性を認められてさらなる研究を促された。この交流により、啓蒙期最高峰の数学ネットワークへ組み込まれていった。

変分法を進める過程で、制約付き最適化のための体系的手法を導入した。この方法は、制約方程式を通じて幾何学・力学、さらには後の経済学にまで通じる強力な言語を与えた。

航海術と天文学の要となる難題である月の秤動を扱い、王立科学アカデミーから顕彰された。受賞により、天体力学の第一人者としての地位を確立した。

フリードリヒ大王の招きでベルリンのプロイセン科学アカデミーへ移り、オイラーの指導的地位を継いだ。ベルリンでは、力学・整数論・天文学にわたる多数の回想録を生み出した。

激しい研究生活の傍ら家庭の安定を求め、従妹のヴィットーリア・コンティとベルリンで結婚した。関係は長くは続かず、彼女の後年の病は、もともと繊細だった彼の精神に重くのしかかった。

制限三体問題における重力の平衡を解析し、後にラグランジュ点と呼ばれる安定配置を同定した。これらの発想は天体力学を刷新し、やがて現代の宇宙探査ミッション設計にも指針を与えた。

長年の回想録を踏まえ、エネルギーと仮想仕事に基づく単一の解析的枠組みへ力学を統一しようとした。幾何学的作図を置き換え、一般化できる代数的操作によって力学を表すことを目指した。

プロイセンで後援体制が変化すると、フランスからの招きを受けて移住の準備を進めた。ベルリンの宮廷支援型の科学から、パリの中央集権的な制度とアカデミーへ移る転機となった。

変分原理と一般化座標の帰結として力学を提示する解析的力学を公刊した。図がほとんどない構成は、運動が純粋な解析によって導けることを強調した。

革命の激動がパリを変える中でも、技術的専門性と慎重な政治姿勢により重用され続けた。アカデミーと科学界での評価が、外来者にとって危険な状況を回避する助けとなった。

革命期の教育再編の中で師範学校で講義を行い、工科大学校の数学カリキュラムにも貢献した。明晰な解析的手法は、技術者が力学と微積分を学ぶ方法に大きな影響を与えた。

経度局で、数学を航海・地図作成・国家標準へ結び付ける役割を担った。同時期にメートル法事業も支援し、計量を啓蒙的合理性と整合させることに寄与した。

天文学者ピエール・シャルル・ル・モニエの娘ルネ＝フランソワーズ＝アデライード・ル・モニエと結婚し、支え合える家庭を得た。友人たちは、晩年のパリで気分が明るくなり、生産性も安定したと記している。

ナポレオンの体制は、国家運営が科学的権威に依存していたことを反映し、彼に最高位の栄誉を授けた。その地位は、数学者が行政・教育・国家の威信の中心に据えられた時代を象徴した。

1813年4月10日、ヨーロッパ数学科学の中心に身を置いた数十年の歩みののち、パリで亡くなった。同僚たちは、力学を解析へと変革し、厳密さと優美さの永続的基準を打ち立てた功績を讃えた。